Cardinales grandes

(Septiembre   2018)

Cardinales grandes: (entre otros) Cardinales inaccesibles, cardinales débilmente compactos, cardinales Ramsey, cardinales medibles, cardinales Woodin, cardinales lambda-supercompactos, cardinales supercompactos, cardinales enormes, cardinales super-enormes.

Dos resultados clásicos sobre cardinales grandes muy conocidos son los siguientes acerca de cardinales medibles:

(Nota: He realizado un artículo donde presento de manera detallada el método de contrucción de modelos llamado "Ultraproductos" (el cual usa ultrafiltros) y también describo detalladamente una demostración del Teorema fundamental de los Ultraproductos (Teorema de Lós). Los Ultraproductos y el Teorema de Lós son muy importantes para investigar cardinales grandes. El artículo está en el siguiente enlace de la web y se puede bajar: http://biblo.una.edu.ve/ojs/index.php/UNAINV/article/view/1442 . Se llama así: "Una presentación de la demostración directa del teorema de compacidad de la lógica de primer orden que usa el método de ultraproductos". UNA INVESTIG@CIÓN, Vol. VIII, N 15 (2016). En dicho artículo está también la definición rigurosa de cardinal inaccesible, cardinal débilmente compacto y cardinal medible, VER.)

Definición: Un cardinal alfa > alef_0 se dice que es medible si y sólo si existe un ultrafiltro no principal y alfa-completo sobre alfa.

(Primer resultado clásico) Teorema: Sea alfa un cardinal medible. Entonces alfa es un cardinal inaccesible y además alfa es el alfa-ésimo cardinal inaccesible, es decir, existen alfa cardinales inaccesibles menores que alfa.

Este teorema se puede demostrar siguiendo (entre otros) el texto "Model Theory" de Chang y Keisler. Tal demostración usa Ultraproductos (especialmente Ultrapotencias) y el Teorema de Lós. También usa lógicas infinitarias y fragmentos de la lógica de segundo orden. La demostración requiere del Axioma de elección. (Ver texto "Model Theory"). He escrito una demostración detallada de este teorema (y del siguiente que se menciona en esta entrada: Teorema de Scott), entre otros, en mi trabajo de investigación  llamado "Algunos tópicos de Lógica matemática y los Fundamentos de la matemática" (30-10-2017). Dicho trabajo se puede encontrar y bajar en el siguiente enlace de la web de "Saber UCV":  http://saber.ucv.ve/handle/123456789/16943 . VER.  Tales demostraciones-sobre cardinales medibles- también pueden encontrarse  en mi artículo  "Tres teoremas sobre cardinales medibles" (Revista: Mixba'al. Revista Metropolitana de Matemáticas. 2021. Vol.12, No.1, páginas 15-31.) el cual se puede encontrar y bajar  en la web de la   revista: http://mat.izt.uam.mx/mat/documentos/revistaMixbaal/Mixbaal2021-03.pdf. VER.

(Segundo resultado clásico) Teorema de Scott: Si existe un cardinal medible, entonces el Axioma de constructibilidad (V=L) es falso.

También este teorema se puede demostrar siguiendo el texto "Model Theory" de Chang y Keisler (entre otros). Tal demostración usa el método de Ultraproductos (especialmente Ultrapotencias) y el Teorema de Lós. Además utiliza lógicas infinitarias y los conjuntos H(alfa)= El conjunto de todos los conjuntos hereditariamente de cardinal menor que alfa (alfa un cardinal infinito). Esta demostración también requiere del Axioma de elección. (Ver texto "Model Theory").

Un tercer  resultado clásico sobre  cardinales grandes que vincula a tales entidades con la Estructura de la Recta Real que también es muy conocido es el siguiente (una prueba del mismo puede encontrarse en el texto "Set Theory" de Jech, dicha prueba usa técnicas como por ejemplo (a)  el método de forcing, específicamente el "Colapso de Levy", (b) el álgebra booleana (cociente) completa de los borelianos modulo el ideal de los borelianos de medida  de Lebesgue cero, (c) el álgebra booleana (cociente) completa de los borelianos modulo el ideal del conjunto de los borelianos que son magro, (d) Códigos de Borel, etc):

(Tercer resultado clásico) Teorema de Solovay:  Asuma que existe un cardinal inaccesible. Entonces:

(1) Existe un modelo de ZF + DC en el cual todo conjunto de reales es medible lebesgue y tiene la propiedad de Baire, y cualquier conjunto de reales no numerable contiene un subconjunto perfecto. ("DC" es el Principio de elecciones dependientes).
(2)   Existe un modelo de ZFC en el cual cualquier conjunto proyectivo de reales es medible Lebesgue, tiene la propiedad de Baire, y si es no numerable, entonces contiene un subconjunto perfecto.

(En el teorema anterior vale la pena resaltar que la hipótesis de la existencia de un cardinal inaccesible es necesaria para probar las proposiciones relacionadas con las propiedades  (a) "medible Lebesgue" y (c) "subconjunto perfecto", pero no se necesita para probar las proposiciones relacionadas con la propiedad de Baire (b). Esto lo demostró Shelah para (a) y (b), y Solovay para (c). Ver texto "Introducción a la Teoría Descriptiva de Conjuntos" de Carlos Di Prisco y Carlos Uzcategui.)

Importante información sobre este interesante tema de "cardinales grandes" puede encontrarse (entre otros) en los textos "Teoría de conjuntos" de Carlos Di Prisco, "Set Theory" de Jech, "Model Theory" de Chang y Keisler, "The Higher Infinite" de Kanamori. Tales textos están en la biblioteca digital de este blog (y se pueden bajar). También (por ejemplo) en las notas "Inmersiones elementales y cardinales grandes" de Carlos Di Prisco, y en los textos "Set Theory. An Introduction to large cardinals" de Drake, "The Theory of Ultrafilters" de Comfort y Negrepontis, y "Cardinales grandes" de Carlos Ivorra (se pueden conseguir en la web estos tres últimos textos y también en la biblioteca digital de este blog). Además: En las bibliografías de tales referencias se mencionan otros importantes textos y artículos sobre el tema.